Question

对于任意的n∈N^*，若数列{a_n}同时满足下列两个条件，则称数列{a_n}具有“性质m”：
①；          
②存在实数M，使得a_n≤M成立．
（1）数列{a_n}、{b_n}中，a_n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a_n}、{b_n}是否具有“性质m”；
（2）若各项为正数的等比数列{c_n}的前n项和为S_n，且，，求证：数列{S_n}具有“性质m”；
（3）数列{d_n}的通项公式（n∈N^*）．对于任意n∈[3，100]且n∈N^*，数列{d_n}具有“性质m”，求实数t的取值范围．

Answer

（1）在数列{an}中，令n=1可验证不满足条件①；在数列{bn}中，按“性质m”的定义验证条件①②即可；
（2）将代入S3=可求得q，从而求得cn，Sn，利用放缩法可验证数列{Sn}满足及Sn＜2；
（3）写出dn+1，dn+2，数列{dn}具有“性质m”，由条件①得dn+dn+2＜2dn+1恒成立，代入后化简分离出t，转化为最值问题可得t的范围，在该范围下可判断数列{dn}为递增数列，从而可知{dn}最大项的值为d100，由此知存在M满足条件②，从而得知t的范围；
（1）【解析】
在数列{an}中，取n=1，则，不满足条件①，
所以数列{an}不具有“m性质”；
在数列{bn}中，b1=1，，b3=2，，b5=1，
则，，，所以满足条件①；
（n=1，2，3，4，5）满足条件②，
所以数列{bn}具有“性质m”．
（2）证明：由于数列{cn}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，
将代入S3=，得6q2-q-1=0，解得或（舍去），
所以c1=1，，，
对于任意的n∈N*，，且Sn＜2，
所以数列{Sn}满足条件①和②，所以数列{Sn}具有“m性质”；
（3）由于dn=，则，，
由于任意n∈[3，100]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，所以dn+dn+2＜2dn+1，
即，
化简得，t（n-2）＞1，即对于任意n∈[3，100]且n∈N*恒成立，
所以t＞1①，
=，
由于n∈[3，100]及①，
所以dn+1＞dn，即n∈[3，100]时，数列{dn}是单调递增数列，
所以{dn}最大项的值为，
满足条件②只需即可，所以这样的M存在②，
所以t＞1即可．