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对于任意的n∈N*,若数列{an}同时满足下列两个条件,则称数列{an}具有“性...

对于任意的n∈N*,若数列{an}同时满足下列两个条件,则称数列{an}具有“性质m”:
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②存在实数M,使得an≤M成立.
(1)数列{an}、{bn}中,an=n、manfen5.com 满分网(n=1,2,3,4,5),判断{an}、{bn}是否具有“性质m”;
(2)若各项为正数的等比数列{cn}的前n项和为Sn,且manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,求证:数列{Sn}具有“性质m”;
(3)数列{dn}的通项公式manfen5.com 满分网(n∈N*).对于任意n∈[3,100]且n∈N*,数列{dn}具有“性质m”,求实数t的取值范围.
(1)在数列{an}中,令n=1可验证不满足条件①;在数列{bn}中,按“性质m”的定义验证条件①②即可; (2)将代入S3=可求得q,从而求得cn,Sn,利用放缩法可验证数列{Sn}满足及Sn<2; (3)写出dn+1,dn+2,数列{dn}具有“性质m”,由条件①得dn+dn+2<2dn+1恒成立,代入后化简分离出t,转化为最值问题可得t的范围,在该范围下可判断数列{dn}为递增数列,从而可知{dn}最大项的值为d100,由此知存在M满足条件②,从而得知t的范围; (1)【解析】 在数列{an}中,取n=1,则,不满足条件①, 所以数列{an}不具有“m性质”; 在数列{bn}中,b1=1,,b3=2,,b5=1, 则,,,所以满足条件①; (n=1,2,3,4,5)满足条件②, 所以数列{bn}具有“性质m”. (2)证明:由于数列{cn}是各项为正数的等比数列,则公比q>0, 将代入S3=,得6q2-q-1=0,解得或(舍去), 所以c1=1,,, 对于任意的n∈N*,,且Sn<2, 所以数列{Sn}满足条件①和②,所以数列{Sn}具有“m性质”; (3)由于dn=,则,, 由于任意n∈[3,100]且n∈N*,数列{dn}具有“性质m”,所以dn+dn+2<2dn+1, 即, 化简得,t(n-2)>1,即对于任意n∈[3,100]且n∈N*恒成立, 所以t>1①, =, 由于n∈[3,100]及①, 所以dn+1>dn,即n∈[3,100]时,数列{dn}是单调递增数列, 所以{dn}最大项的值为, 满足条件②只需即可,所以这样的M存在②, 所以t>1即可.
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考点分析:
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A.当0<a<1时,满足条件的点P有且只有一个.
B.当a=1时,满足条件的点P有三个.
C.当a>1时,满足条件的点P有无数个.
D.当a为任意正实数时,满足条件的点P是有限个.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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