Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO丄侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer

（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；
（Ⅱ）求三棱锥B1-ABC的体积，可转化为求三棱锥C-ABB1 的体积，在Rt△ABD中，可求得BD的值和OA的值，从而三棱锥的体积可求．
（Ⅰ）证明：如图，
因为ABB1A1是矩形，
D为AA1中点，AB=1，，AD=，
所以在直角三角形ABB1中，，
在直角三角形ABD中，，
所以∠AB1B=∠ABD，
又，，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB1，
又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，
所以CO⊥AB1
所以，AB1⊥面BCD，BC⊂面BCD，
故BC⊥AB1．
（Ⅱ）【解析】
在Rt△ABD中，可求得，．
．
==．