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如图,已知椭圆manfen5.com 满分网的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.
(Ⅰ)若点G的横坐标为manfen5.com 满分网,求直线AB的斜率;
(Ⅱ)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.

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(Ⅰ)依题意,直线AB的斜率存在,设其方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,确定G的横坐标,即可求得直线AB的斜率; (Ⅱ)假设存在直线AB,使得 S1=S2,确定G,D的坐标,利用△GFD∽△OED,即可得到结论. 【解析】 (Ⅰ)依题意,直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x+1). 将其代入,整理得 (4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以. 故点G的横坐标为. 依题意,得,解得. (Ⅱ)假设存在直线AB,使得 S1=S2,显然直线AB不能与x,y轴垂直. 由(Ⅰ)可得 . 因为DG⊥AB,所以 , 解得,即 . 因为△GFD∽△OED,所以S1=S2,所以|GD|=|OD|. 所以, 整理得8k2+9=0. 因为此方程无解,所以不存在直线AB,使得 S1=S2.
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考点分析:
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  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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