Question

如图，圆O与离心率为的椭圆T：（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l₁、l₂与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d₁、d₂，求的最大值；
②若，求l₁与l₂的方程．

Answer

（1）由题意可知圆的半径等于1，椭圆的短半轴等于1，根据e=，结合a2=b2+c2求出椭圆的长半轴，则椭圆方程和圆的方程可求；
（2）①因为两直线l1、l2相互垂直，所以点P到两直线的距离d1、d2的平方和可转化为P点到M点距离的平方，利用点P在椭圆上把要求的式子化为含P点纵坐标的函数，利用二次函数可求最大值；
②设出直线l1的方程，分别和圆的方程及椭圆方程联立A，C点的坐标，利用置换k的方法求出B，D点的坐标，分别写出向量的坐标，代入若中求出k的值，则l1与l2的方程的方程可求．
【解析】
（1）由题意知：，b=1．
又a2=b2+c2，所以a2=c2+1，
联立，解得a=2，c=
所以椭圆C的方程为．圆O的方程x2+y2=1；
（2）①设P（x，y）因为l1⊥l2，则，
因为，所以=，
因为-1≤y≤1，所以当时，取得最大值为，此时点．
②设l1的方程为y=kx+1，
由，得：（k2+1）x2+2kx=0，由xA≠0，所以，
代入y=kx+1得：．
所以．
由，得（4k2+1）x2+8kx=0，由xC≠0，所以，
代入y=kx+1得：．
所以．
把A，C中的k置换成可得，
所以，
，
由，
得
=，
整理得：，即3k4-4k2-4=0，解得．
所以l1的方程为，l2的方程为
或l1的方程为，l2的方程为．