Question

设S_n是各项均为非零实数的数列{a_n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a_n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a_n}满足条件，试求S_n的最大值．

Answer

（1）设{an}的公差为d，利用裂项法原等式可化为（-+-+…+-）=，整理可得（k-1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；
（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；
（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，代入求和公式Sn=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．
【解析】
（1）设{an}的公差为d，则原等式可化为（-+-+…+-）=，
所以•=，
即（k-1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…（4分）
（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则{an}为等差数列”．
当n=1时，=显然成立．…（6分）
当n≥2时，若++…+=②，
由①-②得，=（-），即nan-（n-1）an+1=a1③．
当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，
当n≥3时，（n-1）an-1-（n-2）an=a1④，即2an=an-1+an+1．所以{an}为等差数列，即p是q的必要条件．…（10分）
（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，所以r≤．
设{an}的公差为d，则an+1-a1=nd=rsinθ-rcosθ，
所以d=，
所以an=rsinθ-，
Sn==r≤•=，
所以Sn的最大值为…（16分）