Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为4，D为的CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值．

Answer

（1）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积⇔，即可证明AB1⊥平面A1BD；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
（1）证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1中点为O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则．
∴，，．
∵，．
∴，，
∴AB1⊥面A1BD．
（2）设平面A1AD的法向量为，．，
∴，∴，⇒，
令z=1，得为平面A1AD的一个法向量，由（1）知AB1⊥面A1BD，
∴为平面A1AD的法向量，，
∴二面角A-A1D-B的余弦值为．