Question

在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点
（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；
（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；
（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据椭圆方程，算出右焦点F坐标为（3，0），结合椭圆上位于x轴上方的点A满足算出A（0，3），由此可得直线l的斜率k=-1，即可求出直线l的方程；
（2）设直线l：y=k（x-3），与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）y2+6ky-9k2=0，由根与系数的关系算出AB的纵坐标之差的绝对值关于k的式子，再根据△PAB的面积为6建立关于k的方程，化简整理得k4-k2-2=0，解之得k=1（舍负）；
（3）设直线l方程为y=k（x-3）与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）x2-12k2x+18（k2-1）=0，由根与系数的关系得到，然后化简kAD+kBD=0为关于x1、y1、x2、y2和x的等式，化简整理得2kx1x2-k（x+3）（x1+x2）+6kx=0，再将前面算出的x1+x2和x1x2的表达式代入化简可得x=6，由此可得存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．
解 （1）∵椭圆方程为
∴a2=18，b2=9，得c==3，可得F（3，0）…（1分）
∵且点A在x轴的上方，…（2分）
∴可得A在椭圆上且，得A是椭圆的上顶点，坐标为A（0，3）
由此可得l的斜率k=-1，…（3分）
因此，直线l的方程为：，化简得x+y-3=0…（4分）
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l：y=k（x-3）…（5分）
将直线与椭圆方程联列，…（6分）
消去x，得（1+2k2）y2+6ky-9k2=0…（7分）
由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（8分）
∴…（9分）
因此，可得S△PAB=
化简整理，得k4-k2-2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）
（3）假设存在这样的点C（x，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，
根据题意，得直线l：y=k（x-3）（k≠0）
由消去y，得（1+2k2）x2-12k2x+18（k2-1）=0…（12分）
由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（*）…（13分）   
而，，…（14分）
∴
=
由此化简，得2kx1x2-k（x+3）（x1+x2）+6kx=0，…（15分）
将（*）式代入，可得，解之得x=6，
∴存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．…（16分）