Question

对于任意的n∈N^*，若数列{a_n}同时满足下列两个条件，则称数列{a_n}具有“性质m”：
①；   ②存在实数M，使得a_n≤M成立．
（1）数列{a_n}、{b_n}中，a_n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a_n}、{b_n}是否具有“性质m”；
（2）若各项为正数的等比数列{c_n}的前n项和为S_n，且，，证明：数列{S_n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；
（3）若数列{d_n}的通项公式（n∈N^*）．对于任意的n≥3（n∈N^*）．

Answer

（1）利用数列{an}具有“性质m”的条件对an=n、bn=2sin≤2（n=1，2，3，4，5）判断即可；
（2）数列{cn}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将c3=代入S3=++c3=可求得q，从而可求得c1=1，cn=及Sn=2-，分析验证即可；
（3）由于dn=3t-，可求得dn+1=3t-，dn+2=3t-，利用任意n∈[3，+∞]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，由dn+dn+2＜2dn+1可求得t＞1，可判断n≥3时，数列{dn}是单调递增数列，且=（3t-）=3t，从而可求得t≤3，于是有1＜t≤3，经检验t=2不合题意，于是得到答案．
【解析】
（1）在数列{an}中，取n=1，则=2=a2，不满足条件①，所以数列{an}不具有“m性质”；…（2分）
在数列{bn}中，b1=1，b2=，b3=2，
b4=，b5=1，
则b1+b3=3＜2=2b2，
b2+b4=2＜4=2b3，
b3+b5=3＜2=2b4，所以满足条件①；
bn=2sin≤2（n=1，2，3，4，5）满足条件②，所以数列{bn}具有“性质m”．…（4分）
（2）因为数列{cn}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，
将c3=代入S3=++c3=得，6q2-q-1=0，
解得q=或q=-（舍去），…（6分）
所以c1=1，cn=，
Sn=2-…（7分）
对于任意的n∈N*，=2--＜2-=Sn+1，且Sn＜2…（8分）
所以数列数列{Sn}具有“m性质”…（9分）且M≥2．…（10分）
（3）由于dn=3t-，则dn+1=3t-，dn+2=3t-，
由于任意n∈[3，+∞]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，所以dn+dn+2＜2dn+1
即+＞2×，化简得，t（n-2）＞1…（12分）
即t＞对于任意n∈[3，+∞）且n∈N*恒成立，所以t＞1…①…（14分）
dn+1-dn=-=由于n≥3及①，所以dn+1＞dn
即n≥3时，数列{dn}是单调递增数列，且=（3t-）=3t…（16分）
只需3t≤9，解得t≤3…②…（17分）
由①②得1＜t≤3，所以满足条件的整数t的值为2和3．
经检验t=2不合题意，舍去，满足条件的整数只有t=3…（18分）