Question

如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．
（1）求证：CD⊥平面PAB；
（2）求点D到平面PBC的距离．

Answer

（1）由AB是圆的直径，得到AC⊥CB，结合BC=AC算出∠ABC=30°，进而得到．△BCD中用余弦定理算出CD长，从而CD2+DB2=BC2，可得CD⊥AO．再根据PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，结合线面垂直的判定定理即可证出CD⊥平面PAB；
（2）根据（1）中计算的结果，利用锥体体积公式算出，而VP-BDC=VD-PDC，由此设点D到平面PBC的距离为d，可得，结合△PBC的面积可算出点D到平面PBC的距离．
【解析】
（1）∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，
∵Rt△ABC中，由，∴tan∠ABC==，∠ABC=30°，
∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3，，
由余弦定理，得△BCD中，CD2=DB2+BC2-2DB•BCcos30°=3，
∴CD2+DB2=12=BC2，可得CD⊥AO．-----------------（3分）
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，即PD⊥平面ABC，
又∵CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，-----------------（5分）
∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB．-----------------（6分）
（2）由（1）可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中，，--------（7分）
∴．--------（10分）
又∵，，，
∴△PBC为等腰三角形，可得．--------（12分）
设点D到平面PBC的距离为d，由VP-BDC=VD-PBC，得
，解之得．--------（14分）