Question

已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．
（1）若m=1，n=，求△ABC的外接圆的方程；
（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意，求得D，E，F即可；
法2：可求得线段AC的中点为（-，），直线AC的斜率为k1=及线段AC的中垂线的方程，从而可求△ABC的外接圆圆心及半径为r；
法3：可求得|OC|=2，而|OA|=|OB|=2，从而知△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆；
法4：直线AC的斜率为k1=，直线BC的斜率为k2=-，由k1•k2=-1⇒AC⊥BC，⇒△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆；
（2）设点R的坐标为（2，t），由A，C，R三点共线，而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2）可求得t=，继而可求得直线CD的方程，于是可求得圆心O到直线CD的距离d=r，从而可判断直线CD与圆O相切．
【解析】
（1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意可得，解得D=E=0，F=-4，
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-4=0，即x2+y2=4．-----------------（6分）
法2：线段AC的中点为（-，），直线AC的斜率为k1=，
∴线段AC的中垂线的方程为y-=-（x+），
线段AB的中垂线方程为x=0，
∴△ABC的外接圆圆心为（0，0），半径为r=2，
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．-----------------（6分）
法3：∵|OC|==2，而|OA|=|OB|=2，
∴△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆，
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．-----------------（6分）
法4：直线AC的斜率为k1=，直线BC的斜率为k2=-，
∴k1•k2=-1，即AC⊥BC，
∴△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．-----------------（6分）
（2）由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，设点R的坐标为（2，t），
∵A，C，R三点共线，
∴∥，----------------（8分）
而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），
∴t=，
∴点R的坐标为（2，），点D的坐标为（2，），-----------------（10分）
∴直线CD的斜率为k===，
而m2+n2=4，∴m2-4=-n2，
∴k==-，-----------------（12分）
∴直线CD的方程为y-n=-（x-m），化简得mx+ny-4=0，
∴圆心O到直线CD的距离d===2=r，
所以直线CD与圆O相切．-----------------（14分）