Question

设函数f（x）=，x≠0．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．

Answer

（1）利用导数的办法，通过导数大于或小于0判断函数的单调性．
（2）先将|f（x）-1|化为|f（x）-1|=，从而原不等式化为＜a，即ex-（1+a）x-1＜0．令∅（x）=ex-（1+a）x-1，利用导数研究它的单调性和最值，最后得到存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．
【解析】
（1）f′（x）==，-----------------（2分）
令h（x）=（x-1）ex+1，则h′（x）=ex+ex（x-1）=xex，
当x＞0时，h′（x）=xex＞0，∴h（x）是上的增函数，
∴h（x）＞h（0）=0
故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．-----------------（6分）
（2）|f（x）-1|=||，
当x＞0时，令g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1＞0-----------------（8分）
故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）-1|=，
原不等式化为＜a，即ex-（1+a）x-1＜0，-----------------（10分）
令∅（x）=ex-（1+a）x-1，则∅′（x）=ex-（1+a），
由∅（x）=0得：ex=1+a，解得x=ln（1+a），
当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0．
故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a），-----------------（12分）
令s（a）=-ln（1+a），a＞0则s′（a）=＜0．
故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a）＜0．
因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．----------------（14分）