Question

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽以100名学生的笔试成绩，按成绩分组，依次为第一组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185），统计后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮大幅度，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A考官面试的概率？

Answer

（1）首先求出第3，4，5组的频数，然后根据分层抽样中抽取的比例相等求出三组所抽取的人数；
（2）利用列举法列出在6名学生中随机抽取2名学生的所有方法种数，查出第4组至少有一名学生被A考官面试的种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．
【解析】
（1）由图得，第3组的频率为0.06×5=0.3，故频数为30．
第4组的频率为0.04×5=0.2，故频数为20．
第5组的频率为0.02×5=0.1，故频数为10．
因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：人；第4组：人；第5组：人．
所以，第3、4、5组每组各抽取3、2、1名学生进入第二轮面试．
（2）设第3组的3为同学为1，2，3．第4组的2位同学为a，b．第5组的1位同学为c．
则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：
（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（1，c），（2，3），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），
（3，b），（3，c），（a，b），（a，c），（b，c）．
其中第4组的两位同学至少有1位同学入选的有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，b）9种可能．
所以第4组至少有一名学生被A考官面试的概率为．