Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=1，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF⊥平面PDC；
（2）求三棱锥B-PEC的体积；
（3）求证：AF∥平面PEC．

Answer

（1）利用线面垂直的性质定理可得AB⊥AF．，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用三棱锥的体积计算公式VB-PEC=VP-BEC=即可得出；
（3）取PC得中点M，连接MF、ME．利用三角形的中位线定理及矩形的性质可得，于是四边形AEMF是平行四边形，可得AF∥EM，再利用线面平行的判定定理可得AF∥平面PEC．
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
由底面ABCD是矩形，∴CD⊥DA，又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AF．
∵PA=AD=1，F是PD的中点，
∴AF⊥PD，
又PD∩DC=D，∴AF⊥平面PDC．
（2）【解析】
=，
∵PA⊥平面ABCD，
VB-PEC=VP-BEC==．
（3）取PC得中点M，连接MF、ME．
∵，，E是AB的中点，∴，
∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM．
又AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，
∴AF∥平面PEC．