Question

已知函数f（x）=x²+x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）令c_n=+，证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+．

Answer

（1）利用即可求出an；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用基本不等式的性质和“裂项求和”即可得出．
【解析】
（1）∵点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴，
∴当n=1时，；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=．
当n=1时，也适合上式，
因此．
（2）由（1）可得：=．
∴Tn=，
，
两式相减得=1+=3
∴．
（3）证明：由cn==+＞2=2，
∴c1+c2+…+cn＞2n．
又cn=+=2+-，
∴c1+c2+…+cn=2n+[（-）+（-）+…+（-）]=2n+-＜2n+．
∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+成立．