Question

已知F₁，F₂分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₁：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C₁相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

Answer

（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点坐标，再利用抛物线的定义和点M在抛物线上即可得到点M的坐标；利用点M在椭圆C1上满足椭圆的方程和c2=a2-b2即可得到椭圆的方程；
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，由点F满足，及，，故四边形AEBF的面积S=S△BEF
+S△AEF==，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解析】
（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（1，0）．
设M（x，y）（x＜0），由点M在抛物线上，
∴，，解得，．
而点M在椭圆C1上，∴，化为，
联立，解得，
故椭圆的方程为．
（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2．设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，
把y=kx代人，可得，x2＞0，y2=-y1＞0，且．
，，
故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF==
=≤=．
当且仅当时上式取等号．
∴四边形AEBF面积的最大值为．