Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x）））=0}，若A∩B≠∅且存在x∈B，x∉A则实数b的取值范围是（ ）
A．b≠0
B．b＜0或b≥4
C．0≤b＜4
D．b≤4或b≥4

Answer

由f（f（x）））=0，把x2+bx+c=0代入，解得c=0，由此求得A={0，-b}．方程f（f（x）））=0即（x2+bx）（x2+bx+b）=0，解得x=0，或x=-b，或 x=．由于存在x∈B，x∉A，故b2-4b≥0，从而求得实数b的取值范围．
【解析】
由题意可得，A是函数f（x）的零点构成的集合．
由f（f（x）））=0，可得 （x2+bx+c）2+b（x2+bx+c）+c=0，把x2+bx+c=0代入，解得c=0．
故函数f（x）=x2+bx，故由f（x）=0可得 x=0，或x=-b，故A={0，-b}．
方程f（f（x）））=0，即 （x2+bx）2+b（x2+bx）=0，即 （x2+bx）（x2+bx+b）=0，
解得x=0，或x=-b，或 x=．
由于存在x∈B，x∉A，故b2-4b≥0，解得b≤0，或b≥4．
由于当b=0时，不满足集合中元素的互异性，故舍去，即实数b的取值范围为{b|b＜0或b≥4 }，
故选B．