Question

若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是    ．

Answer

不妨设||=1，则||=||=λ．令=，=，以OA、OB为临边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB
为菱形．故有∠OAB=∠OBA=θ，与的夹角，即与的夹角，等于π-θ，且0＜θ＜．△OAC中，由
余弦定理解得 cos2θ=1-．再由 ≤λ≤1求得cos2θ的范围，从而求得θ的范围，即可得到与的
夹角的取值范围．
【解析】
∵，
不妨设||=1，则||=||=λ．
令=，=，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，
则平行四边形OACB为菱形．
故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，
且0＜θ＜．
而由题意可得，与的夹角，即与 的夹角，
等于π-θ．
△OAC中，由余弦定理可得 OC2=1=OA2+AC2-2OA•AC•cos2θ=λ2+λ2-2•λ•λcos2θ，
解得 cos2θ=1-．
再由 ≤λ≤1，可得 ≤≤，∴-≤cos2θ≤，∴＜2θ≤，∴＜θ≤，
故 ≤π-θ＜，即与的夹角π-θ的取值范围是[，）．