设|AF|=a、|BF|=b,由抛物线定义结合梯形的中位线定理,得2|MN|=a+b.再由勾股定理得|AB|2=a2+b2,结合基本不等式求得|AB|的范围,从而可得的最大值.
【解析】
设|AF|=a,|BF|=b,A、B在准线上的射影点分别为Q、P,连接AQ、BQ
由抛物线定义,得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,
又∵ab≤() 2,
∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×() 2=(a+b)2
得到|AB|≥(a+b).
所以≤=,即的最大值为.
故答案为: