Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=，AD=BD，EC丄底面ABCD，FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2．
（I ）求证：AD丄BF；
（II ）若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N，试求二面角 B-MF-C的余弦值．

Answer

（I）利用等腰直角三角形的性质可得∠BDC=45°，根据平行线的性质可得∠ABD=45°，又AD=DB，从而得到∠ADB=90°，可得AD⊥DB；由线面垂直的性质可得FD⊥DB，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面FDB，即可得到线线垂直；
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
（Ⅰ）证明：∵∠BCD=90°，BC=CD=，∴，∠BDC=45°
又由AB∥DC，可知∠ABD=∠BDC=45°，
∵AD=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．
∵FD丄底面ABCD，∴FD⊥DB．
又FD∩DB=D，∴AD⊥平面FBD，
∴AD⊥BF．
（Ⅱ）【解析】
如图，以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x、y、z轴建系．
可得D，，，，．
又∵N恰好为BF的中点，∴，，．
设M（0，0，z），∴．
又∵，，可得z=1．
∴M（0，0，1），故M为线段CE的中点．
设平面BMF的一个法向量，且=，
，由，可得，
令y=1，则x=0，z=．得．
又∵平面MFC的一个法向量为，
∴==．
故所求二面角B-MF-C的余弦值为．