Question

已知函数
（I ）求f（x）的单调区间；
（II）对任意的，恒有，求正实数λ的取值范围．

Answer

（I）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），再对字母a分类讨论，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（II）根据第一问的单调性，知f（x）在[1，2]上为减函数．若x1=x2，则原不等式恒成立；若x1≠x2，不妨设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）＞f（x2），，所以原不等式进行化简整理得f（x1）-≤f（x2）-对任意的，恒成立，令g（x）=f（x）-，转化成研究g（x）在[1，2]的单调性，再利用导数即可求出正实数λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=x-（2a+2）+= （x＞0）
令f′（x）=0，得x1=2a+1，x2=1                 …（1分）
①a=0时，f′（x）=，所以f（x）增区间是（0，+∞）；
②a＞0时，2a+1＞1，所以f（x）增区间是（0，1）与（2a+1，+∞），减区间是（1，2a+1）
③-＜a＜0时，0＜2a+1＜1，所以f（x）增区间是（0，2a+1）与（1，+∞），减区间是（2a+1，1）
④a≤时，2a+1≤0，所以f（x）增区间是（1，+∞），减区间是 （0，1）…（5分）
（II）因为，所以（2a+1）∈[4，6]，由（1）知f（x）在[1，2]上为减函数．…（6分）
若x1=x2，则原不等式恒成立，∴λ∈（0．+∞）                  …（7分）
若x1≠x2，不妨设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）＞f（x2），，
所以原不等式即为：f（x1）-f（x2）≤λ（），
即f（x1）-≤f（x2）-对任意的，恒成立
令g（x）=f（x）-，所以对任意的有g（x1）＜g（x2）恒成立，
所以g（x）=f（x）-在闭区间[1，2]上为增函数               …（9分）
所以g′（x）≥0对任意的恒成立
而g′（x）=x-（2a+2）+≥0，即（2x-2x2）a+x3-2x+x2+λ≥0，
只需（2x-2x2）+x3-2x+x2+λ≥0，即x3-7x2+6x+λ≥0对任意x∈[1，2]恒成立，
令h（x）=x3-7x2+6x+λ，h′（x）=3x2-14x+6＜0（x∈[1，2]）恒成立，
∴h（x）在x∈[1，2]上为减函数，则h（x）min=h（2）=λ-8，
∴h（x）min=h（2）=λ-8≥0，
∴λ≥8．