Question

已知函数f（x）=ln（ax）+x²-ax （a为常数，a＞0）
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当y=f（x）在x=处取得极值时，若关于x的方程f（x）-b=0在[0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[，1]，使不等式f（x）＞m（a²+2a-3）成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）a=1时求出f′（x），则切线斜率k=f′（1），求出切点，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）求导数f′（x），令f′（）=0可得a，利用导数可求得函数f（x）在[0，2]上的最小值、最大值，结合图象可知只需满足直线y=b与y=f（x）的图象有两个交点即可；
（3）先利用导数求出f（x）在[，1]上的最大值f（1）=ln（）+1-a，则问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1-a-m（a2+2a-3）成立，然后利用导数研究不等式左边的最小值即可；
【解析】
（1）a=1时，，
∴，于是，
又f（1）=0，即切点为（1，0），
∴切线方程为；
（2），，即a2-a-2=0，
∵a＞0，∴a=2，
此时，，∴上递减，上递增，
又，
∴；
（3）f′（x）=+2x-a==，
∵1＜a＜2，∴=＜0，即，
∴f（x）在[，2]上递增，∴f（x）max=f（1）=ln（）+1-a，
问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1-a＞m（a2+2a-3）成立，
设h（a）=ln（+a）+1-a-m（a2+2a-3）（1＜a＜2），
则h′（a）=-1-2ma-2m=，
又h（1）=0，∴h（a）在1右侧需先增，∴h′（1）≥0，m≤-，
设g（a）=-2ma2-（4m+1）a-2m，对称轴a=-1-≤1，
又-2m＞0，g（1）=-8m-1≥0，
所以在（1，2）上，g（a）＞0，即h′（a）＞0，
∴h（a）在（1，2）上单调递增，h（a）＞h（1）=0，即ln（）+1-a＞m（a2+2a-3），
于是，对任意的a∈（1，2），总存在x∈[，1]，使不等式f（x）＞m（a2+2a-3）成立，
m．