Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BD、BB₁的中点．
（I）求证：EF∥平面A₁B₁CD；
（II）求证：EF⊥AD₁．

Answer

（I）连接B1D，利用E、F分别是BD、BB1的中点，可得EF∥B1D，从而可得EF∥平面A1B1CD；
（II）证明A1B1⊥AD1，A1D⊥AD1，可得AD1⊥平面A1B1CD，从而可得EF⊥AD1．
证明：（I）连接B1D

∵E、F分别是BD、BB1的中点，∴EF∥B1D
∵B1D⊂平面A1B1CD，EF⊄平面A1B1CD
∴EF∥平面A1B1CD；
（II）∵A1B1⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，
∴A1B1⊥AD1，
∵A1D⊥AD1，A1B1∩A1D=A1，
∴AD1⊥平面A1B1CD
∵EF⊂平面A1B1CD
∴EF⊥AD1．