Question

已知函数f（x）=alnx+bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在上恰有两解，求实数m的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0，建立方程组，从而可得函数y=f（x）的解析式；
（II）求导函数，确定函数的单调性与最值，从而可得不等式组，即可确定实数m的取值范围．
【解析】
（I）求导函数可得（x＞0）
∵函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0
∴f′（1）=2，f（1）=-1
∴
∴a=4，b=-1
∴f（x）=4lnx-x2；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x2+m-ln4（x＞0），则（x＞0）
∴当x时，g′（x）＞0；当x时，g′（x）＜0；
∴函数在上单调增，在上单调减
∵方程g（x）=0在上恰有两解，
∴
∴
解得2＜m≤4-2ln2