Question

已知函数f（x）=sinx，任取t∈R，定义集合：A_t={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤}．设M_t，m_t分别表示集合A_t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M_t-m_t．则
（1）函数h（t）的最大值是    ；
（2）函数h（t）的单调递增区间为    ．

Answer

（1）理清At={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤}的含义为：表示以P点为圆心，为半径的圆及其内部函数y=sin的图象上所有的点的纵坐标的集合，再利用正弦函数的周期性、单调性与最值可求得Mt，mt，从而可求得函数h（t））=Mt-mt的最大值；
（1）由（1）结合正弦函数的周期性与单调性即可求得函数h（t）的单调递增区间．
【解析】
At={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤}表示以P点为圆心，为半径的圆及其内部函数y=sin的图象上所有的点的纵坐标的集合，

∵f（-2）=f（0）=f（2）=0，f（1）=1，f（-1）=-1，设O（0，0），A（1，1），B（2，0），则AO=AB=，
∴Mt=，
其中x是最高点Q的横坐标，
同理，mt=；
其中x1是最低点Q的横坐标．
∴函数h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2时取得），
单调增区间是（2k-1，2k）．