Question

已知函数f（x）=2-（sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

Answer

（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+），由此求得f（x）的周期．
（II）当x∈[-，]时，根据正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．
【解析】
（I）因为函数f（x）=2-（sinx-cosx）2 =2-（3sin2x+cos2x-2sinxcosx）
=2-（1+2sin2x-sin2x）=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）．
所以，f（）=2sin（2×+）=2sin=，
所以，f（x）的周期为 T==π．
（II）当x∈[-，]时，2x∈[-，]，2x+∈[-，]，
所以，当2x+=，即当x=-时，函数取得最小值 f（-）=-1，
当2x+=，即当x=时，函数取得最大值 f（）=2．