Question

设A（x_A，y_A），B=（x_B，y_B）为平面直角坐标系上的两点，其中x_A，y_A，x_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△_x|+|△_Y|=3，且|△x|•|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．已知（x，y）（xy∈Z）为平面上一个定点，平面上点列{P_i}满足：P_i=i（P_i-1），且点P_i的坐标为（x_iy_i），其中i=1，2，3，…n．
（Ⅰ）请问：点p的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；
（Ⅱ）求证：若P与P_n重合，n一定为偶数；
（Ⅲ）若p（1，0），且y_n=100，记T=，求T的最大值．

Answer

（I）根据绝对值的意义，可得整数△x与△Y在{±1，±2}中取值，满足绝对值的和等于3，由此可得点P的相关点有8个，再根据圆的标准方程可得这些可能值对应的点在以P（x，y）为圆心，为半径的圆上；
（II）因为Pn（xn，yn）与P（x，y）重合，用逐项作差再累加的方法得到等式，再将所得等式相加证出[（xi-xi-1）+（yi-yi-1）]=0，结合题意（xi-xi-1）+（yi-yi-1）（i=1，2，3，…，n）为奇数，可得左边是n个奇数的和，根据整数加减法的奇偶性质即可得到n一定为偶数；
（II）令△xi=xi-xi-1，△yi=yi-yi-1（i=1，2，3，…，n），依题意可得（yi-yi-1）=100．由|△xi|+|△yi|=3且|△xi|的|△yi|都是非零整数，可得当△xi=2的个数越多，且在△x1，△x2，△x3，…，△xn-1，△xn这个序列中，数字2的位置越靠前，应的T值越大，从而得到当△yi取值为1或-1的次数最多时，相应地△xi取2的次数最多，可使T的值最大．然后分n=100、n＞100和50≤n≤100时三种情况加以讨论，分别根据式子中1、2的个数，结合等差数列求和公式算出T关于n的表达式，即可得到T达到最大值时，T关于n的分段函数的表达式，得到本题答案．
【解析】
（Ⅰ）∵|△x|+|△Y|=3，（|△x|•|△y|≠0）
∴|△x|=1且|△Y|=2，或|△x|=2且|△Y|=1，所以点P的相关点有8个…（2分）
又∵（△x）2+（△Y）2=3，即（x1-x）2+（y1-y）2=5
∴这些可能值对应的点在以P（x，y）为圆心，为半径的圆上…（4分）
（Ⅱ）依题意Pn（xn，yn）与P（x，y）重合
则xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+（xn-2-xn-3）+…+（x3-x2）+（x2-x1）+（x1-x）+x，
yn=（yn-yn-1）+（yn-1-yn-2）+（yn-2-yn-3）+…+（y3-y2）+（y2-y1）+（y1-y）+y，
因此，可得（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+（xn-2-xn-3）+…+（x3-x2）+（x2-x1）+（x1-x）=0，
且（yn-yn-1）+（yn-1-yn-2）+（yn-2-yn-3）+…+（y3-y2）+（y2-y1）+（y1-y）=0
两式相加得
[（xn-xn-1）+（yn-yn-1）]+[（xn-1-xn-2）+（yn-1-yn-2）]+…+[（x1-x）+（y1-y）]=0（*）
∵xi，yi都是整数，且|xi-xi-1|+|yi-yi-1|=3（i=1，2，3，…，n）
∴（xi-xi-1）+（yi-yi-1）（i=1，2，3，…，n）为奇数，于是（*）的左边就是n个奇数的和，
因为奇数个奇数的和还是奇数，所以左边不可能是奇数项，可得n一定为偶数…（8分）
（Ⅲ）令△xi=xi-xi-1，△yi=yi-yi-1，（i=1，2，3，…，n）
依题意（yn-yn-1）+（yn-1-yn-2）+…+（y2-y1）+（y1-y）=100，
∵T==x+x1+x2+…+xn=1+（1+△x1）+（1+△x1+△x2）+…+（1+△x1+△x2+…+△xn）
=n+1+n△x1+（n-1）△x2+…+2△xn-1+△xn）…（10分）
∵|△xi|+|△yi|=3，且|△xi|的|△yi|都是非零整数，
∴当△xi=2的个数越多，则T的值越大，
∵在△x1，△x2，△x3，…，△xn-1，△xn这个序列中，数字2的位置越靠前，相应的值越大
且当△yi取值为1或-1的次数最多时，△xi取2的次数才能最多，T的值才能最大．
∴①当n=100时，令所有的△yi都为1，且△xi都取2，得T=101+2（1+2+…+100）=10201．
②当n＞100时，
（i）若n=2k（k≥50，k∈N+），此时△yi可取k+50个1，k-50个-1，且△xi可都取2，S（n）达到最大值
从而 T=n+1+2[n+（n-1）+…+2+1]=n2+2n+1．
（ii）若n=2k+1（k≥50，k∈N+），令△yn=2，其余的△yi中有k-49个-1，k+49个1．
相应的，对于△xi，有△xn=1，其余的都为2，可得T=n+1+2[n+（n-1）+…+2+1]-1=n2+2n
③当50≤n≤100时，令△yi=1，i≤2n-100，△yi=2，2n-100＜i≤n，
则相应地取△xi=2，i≤2n-100，△yi=1，2n-100＜i≤n，
可得T=n+1+2[n+（n-1）+…+（101-n）]+[（100-n）+（99-n）+…+2+1]=（n2+205n-10098）

综上所述，得T=…（13分）