Question

四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=2CD=2，又PA=PD，∠APD=90°，E、G分别是BC、PE的中点．
（1）求证：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的大小．

Answer

（1）取AD的中点O，连接OP，OE，由已知中PA=PD，结合等腰三角形“三线合一”的性质，得到OP⊥AD，进而得到OE⊥AD，结合线面垂直的判定定理，得到AD⊥平面OPE，最后根据线面垂直的性质得到AD⊥PE；
（2）方法一（几何法）取OE的中点F，连接FG，OG，结合（1）中结论，可得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE，即可得到二面角E-AD-G的大小．
方法二（向量法）以O为坐标原点，建立如图所示坐标系，分别求出平面ADG和平面EAD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角E-AD-G的大小．
证明：（1）如图，取AD的中点O，连接OP，OE
∵PA=PD，∴OP⊥AD（2分）
又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD．（4分）
又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．
而PE⊂平面OPE，∴AD⊥PE（6分）
（2）
解法一：取OE的中点F，连接FG，OG，
则由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，
∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角（9分）
∵，，∴∠GOE=45°
即二面角E-AD-G的大小为45°．（12分）
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），E（0，1，0）E（8分）
设平面ADG的法向量为D，由C得AB（10分）
又平面EAD的一个法向量为
又因为=（11分）
∴二面角E-AD-G的大小为45°．（12分）