Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为为椭圆上一动点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆短轴的上端点为A、M为动点，且成等差数列，求动点M的轨迹C₂的方程；
（3）过点M作C₂的切线l交于C₁与Q、R两点，求证：．

Answer

（1）设椭圆C1的方程，利用离心率为，可得a=2b．由椭圆几何性质知，当P为椭圆的短袖端点时，△PF1F2的面积最大，根据△PF1F2面积的最大值为，建立方程，即可求得椭圆C1的方程；
（2）用坐标表示向量，利用成等差数列，建立方程，整理可得M的轨迹C2的方程；
（3）l的斜率存在时，设l方程代入椭圆方程，利用韦达定理，借助于坐标表示，结合l与C2相切，可得；当l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程，求出Q，R的坐标，即可证得结论．
（1）【解析】
设椭圆C1的方程为，∴，所以a=2b．
由椭圆几何性质知，当P为椭圆的短袖端点时，△PF1F2的面积最大，故，∴a=2，b=1，
故所求椭圆方程为；
（2）【解析】
由（1）知A（0，1），F1=（），设M（x，y）则
由题意得，∴
整理得M的轨迹C2的方程为；
（3）证明：l的斜率存在时，设l方程为y=kx+m，代入椭圆方程并整理得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-4=0．
△=（8km）2-16（m2-1）（1+4k2）＞0，
设Q（x1，y1），R（x2，y2），∴
所以，
则=
又因为l与C2相切，所以，∴5m2-4k2-4=0
所以，
当l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程解得或，此时
综上所述，