Question

已知函数，f（X）=log₂x的反函数为f^-1（x），等比数列{a_n}的公比为2，若f^-1（a₂）•f^-1（a₄）=2¹⁰，则2^{f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₉）}=（ ）
A．2^1004×2008
B．2^1005×2009
C．2^1005×2008
D．2^1004×2009

Answer

本题由函数f（X）=log2x可确定反函数f-1（x），从而利用f-1（a2）•f-1（a4）=210得到等比数列第二项与第四项的等式关系，并结合公比为2求出通项an=2n-1，由此求出f（a1）+f（a2）+…+f（a2009）的值，进而可得答案．
【解析】
由f（X）=log2x得f-1（x）=2x，所以f-1（a2）•f-1（a4）===210，所以a2+a4=10，
又公比q=2，所以a1=1，
故an=2n-1，
所以f（a1）+f（a2）+…+f（a2009）=log21+log221+log222+log223+…+log222008=1+2+3+…+2008==1004×2009；
所以2f（a1）+f（a2）+…+f（a2009）=21004×2009
故选D．