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已知函数f(x)=-2sinx•cosx+2cos2x+1. (1)设方程f(x...

已知函数f(x)=-2sinx•cosx+2cos2x+1.
(1)设方程f(x)-1=0在(0,π)内有两个零点x1,x2,求x1+x2的值;
(2)若把函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位使所得函数的图象关于点(0,2)对称,求m的最小值.
(1)利用三角函数的恒等变换化简f(x)的解析式为cos(2x+)+2,由f(x)-1=0求得cos(2x+)=-,再根据x∈(0,π),求得x1和x2的值,即可求得x1+x2的值. (2)设y=f(x)的图象向左平移m个单位,得到函数g(x)的图象,根据y=g(x)的图象关于点(0,2)对称,求得mm=+,k∈Z,从而求得m的最小值. 【解析】 (1)由题设f(x)=-sin2x+1+cos2x+1=cos(2x+)+2,…(2分) ∵f(x)-1=0,∴cos(2x+)+1=0,…(3分) ∴cos(2x+)=-.…(4分) 由2x+=2kπ+π或2x+=2kπ+π,k∈Z,求得x=kπ+或x=kπ+.…(5分) ∵x∈(0,π),∴x1=,x2=,∴x1+x2=π.…(6分) (2)设y=f(x)的图象向左平移m个单位,得到函数g(x)的图象,则g(x)=cos(2x++2m)+2,…(8分) ∵y=g(x)的图象关于点(0,2)对称, ∴2m+=kπ+,k∈Z.…(10分) ∴2m=kπ+,k∈Z. ∴m=+,k∈Z.…(11分) ∵m>0, ∴k=0时,m取得最小值.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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