Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中各棱长均为a，F、M分别为A₁C₁、CC₁的中点．求证：
（I）BC₁∥平面AFB₁
（Ⅱ）A₁M⊥平面AFB₁．

Answer

（I）利用三角形的中位线证明EF∥BC1，再利用线面平行的判定，即可得到结论；
（Ⅱ）先利用面面垂直，得到B1F⊥平面AA1C1C，从而可得B1F⊥A1M，再证明A1M⊥AF，利用线面垂直的判定可证结论．
证明：（I）连接A1B交AB1于E，连接EF，
∵EF为△A1BC1的中位线，
∴EF∥BC1，
又∵EF⊂平面AB1F，BC1 ⊄平面AB1F
∴BC1∥平面AB1F，
（Ⅱ）在正三棱柱中，∵B2F⊥A1C1，面A1C1B1⊥面ACC1A1，
∴B1F⊥平面AA1C1C，
∵A1M⊂平面AA1C1C，
∴B1F⊥A1M，
在△AA1F中，=2，
在△A1MC1中，=2
∴∠AFA1=∠A1MC1，
又∵∠A1MC1+∠MA1C1=90°，
∴∠AFA1+∠MA1C1=90°，
∴A1M⊥AF，
又∵AF∩B1F=F，
∴A1M⊥平面AFB1．