Question

已知函数f（x）=（1+）sin²x+msin（x+）sin（x-）
（1）当m=0时，求f（x）在区间[，]上的取值范围；
（2）当tana=2时，f（a）=，求m的值．

Answer

（1）当m=0时，利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 +sin（2x-），再根据x的范围，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间[，]
上的取值范围．
（2）由tana=2时，f（a）=，利用同角三角函数的基本关系求得 sin2a=，cos2a=．化简tan（a） 等于 ，可得=，由此解得m的值．
【解析】
（1）当m=0时，函数f（x）=（1+）sin2x=•sin2x=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x-）．
∵≤x≤，∴0≤2x-≤，∴-≤sin（2x-）≤1，0≤f（x）≤，
故f（x）在区间[，]上的取值范围为[0 ，]．
（2）∵当tana=2时，f（a）=，∴sin2a=，cos2a=．
再由f（a）=（1+ ）sin2a+msin（a+）sin（a-）=sin2a+m（sin2a-cos2a ）=，
可得=，解得m=-2．