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如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,P为BC边的中点,SB...

manfen5.com 满分网如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.
(Ⅰ)求证:PD⊥平面SAP;
(Ⅱ)求二面角A-SD-P的余弦的大小.
(Ⅰ)欲证PD⊥平面SAP,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PD与平面SAP内两相交直线垂直,根据题意可知∠SBA是SB与平面ABCD所成的角,根据勾股定理可知AP⊥PD,根据线面垂直的性质可知SA⊥PD,而SA∩AP=A满足定理所需条件; (Ⅱ)设Q为AD的中点,连接PQ,根据PQ⊥SD,SD⊥PR,则∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角,在Rt△PRQ中,求出二面角A-SD-P的余弦即可. 【解析】 (Ⅰ)证明:因为SA⊥底面ABCD, 所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角(1分) 由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=,(3分) 又因为AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以AP⊥PD.(4分) 因为SA⊥底面ABCD,PD⊂平面ABCD, 所以SA⊥PD,(5分) 由于SA∩AP=A所以PD⊥平面SAP.(6分) (Ⅱ)设Q为AD的中点,连接PQ,(7分) 由于SA⊥底面ABCD,且SA⊂平面SAD, 则平面SAD⊥平面PAD(8分) ∵PQ⊥AD,∴PQ⊥平面SAD,∵SD⊂平面SAD,∴PQ⊥SD. 过Q作QR⊥SD,垂足为R,连接PR,则SD⊥面QPR. 又PR⊂面QPR,∴SD⊥PR,∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角.(10分) 容易证明△DRQ∽△DAS,则. 因为DQ=1,SA=1,SD=, 所以.(12分) 在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,, 所以.(13分) 所以二面角A-SD-P的余弦为.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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