Question

已知向量，函数，．
（1）求f（x）的最小值和单调区间；
（2）若，求sin2α的值．

Answer

先利用向量数量积运算，求得函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的正弦公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，（1）利用正弦函数的有界性求得函数f（x）的最小值，将内层函数置于外层函数的单调增区间上，解不等式即可得函数f（x）的单调增区间，同理可得其单调减区间；（2）利用配凑角的方法，将角2α看做2α-+，再利用两角和的正弦公式即可求得所求函数值，但角2α-的取值范围的确定是一个难点
【解析】
=sin2x+sinxcosx=+sin2x=（sin2x-cos2x）+=sin（2x-）+
（1）∵，∴2x-∈[-，]
∴当2x-=-，即x=0时，f（x）最小为-×+=0
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，得-+kπ≤x≤+kπ，
由+2kπ≤2x-≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，
取k=0，结合
∴函数f（x）的单调增区间为[0，]，单调减区间为[，]
（2）∵，∴sin（2x-）+=
∴sin（2x-）=
∵，∴2x-∈[-，]
∵0＜sin（2x-）＜
∴2x-∈（0，）
∴cos（2x-）=
∴sin2x=sin（2x-+）=sin（2x-）+cos（2x-）=（+）=