Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B是边长为2的正方形，点C在平面AA₁B₁B上的射影H恰好为A₁B的中点，且CH=，设D为CC₁中点，
（Ⅰ）求证：CC₁⊥平面A₁B₁D；
（Ⅱ）求DH与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

Answer

方法一：常规解法
（I）由已知中，棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，易得CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，可证出DE⊥CC1，结合线面垂直的判定定理可得CC1⊥平面A1B1D；
（II）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K，结合（I）的结论，我们可得DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK，解Rt△CFH与Rt△DHK，即可得到DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．
方法二：向量法
（I）以H为原点，建立空间直角坐标系，分别求出向量的坐标，根据坐标的数量积为0，易得到CC1⊥A1D，CC1⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1B1D；
（II）求出直线DH的方向向量及平面AA1C1C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．
证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，

取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，
所以，得平行四边形HEDC，
因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，
得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D（6分）
【解析】
（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K
因为CH∥DE，CF∥A1D，所以平面CFH∥平面A1B1D，由（Ⅰ）得CC1⊥平面A1B1D，
所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK（10分）
在Rt△CFH中，，
在Rt△DHK中，由于DH=2，（14分）

方法二：（向量法）
证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），
所以，，
∴，，
因此CC1⊥平面A1B1D；（6分）
【解析】
（Ⅱ）设平面AA1C1C的法向量，由于
则，
得，所以（10分）
又，所以（14分）