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manfen5.com 满分网在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B是边长为2的正方形,点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点,且CH=manfen5.com 满分网,设D为CC1中点,
(Ⅰ)求证:CC1⊥平面A1B1D;
(Ⅱ)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值.
方法一:常规解法 (I)由已知中,棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B是边长为2的正方形,易得CC1⊥A1B1,取A1B1中点E,可证出DE⊥CC1,结合线面垂直的判定定理可得CC1⊥平面A1B1D; (II)取AA1中点F,连CF,作HK⊥CF于K,结合(I)的结论,我们可得DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK,解Rt△CFH与Rt△DHK,即可得到DH与平面AA1C1C所成角的正弦值. 方法二:向量法 (I)以H为原点,建立空间直角坐标系,分别求出向量的坐标,根据坐标的数量积为0,易得到CC1⊥A1D,CC1⊥B1D,进而根据线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1B1D; (II)求出直线DH的方向向量及平面AA1C1C的法向量,代入向量夹角公式,即可求出DH与平面AA1C1C所成角的正弦值. 证明:方法一:(Ⅰ)因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1,所以CC1⊥A1B1, 取A1B1中点E,则HE∥BB1∥CC1且,又D为CC1的中点, 所以,得平行四边形HEDC, 因此CH∥DE,又CH⊥平面AA1B1B, 得CH⊥HE,DE⊥HE,所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D(6分) 【解析】 (Ⅱ)取AA1中点F,连CF,作HK⊥CF于K 因为CH∥DE,CF∥A1D,所以平面CFH∥平面A1B1D,由(Ⅰ)得CC1⊥平面A1B1D, 所以CC1⊥平面CFH,又HK⊂平面CFH,所以HK⊥CC1,又HK⊥CF,得HK⊥平面AA1C1C,所以DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK(10分) 在Rt△CFH中,, 在Rt△DHK中,由于DH=2,(14分) 方法二:(向量法) 证明:(Ⅰ)如图,以H为原点,建立空间直角坐标系, 则C(0,0,),C1(),A1(),B1(0,,0), 所以,, ∴,, 因此CC1⊥平面A1B1D;(6分) 【解析】 (Ⅱ)设平面AA1C1C的法向量,由于 则, 得,所以(10分) 又,所以(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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