Question

已知曲线C：f（x）=x³-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）过C外一点A（1，0）引C的两条切线，若它们的倾斜角互补，求a的值．

Answer

（Ⅰ）利用导数与单调性的关系转化为最值恒成立问题．
（Ⅱ）通过导数求出切线斜率，利用切线的倾斜角互补，建立斜率关系，可求a．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的导数为f'（x）=3x2-a，…（1分）
因为f（x）在区间[1，2]上是增函数，所以f'（x）≥0在区间[1，2]上恒成立．  （4分）
a≤3x2恒成立．因为当1≤x≤2时3x2≥3，可得a≤3．                       …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x2-a，过点A（1，0）作曲线C的切线，
设切点（x，f（x）），则切线方程为：y=（3x-a）（x-1）…（9分）
将（x，f（x））代入得：即   （*）
解得x=0或x=         …（12分）
故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为-a与，
因为两条切线的倾斜角互补，所以，解得．         …（14分）