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设数列{an} 满足a1=a,an+1=can+1-c(n∈N*),其中a、c为...

设数列{an} 满足a1=a,an+1=can+1-c(n∈N*),其中a、c为实数,且c≠0.
(1)求数列{an} 的通项公式;
(2)设a=manfen5.com 满分网,c=manfen5.com 满分网,bn=n(a-an)(n∈N*),求数列 {bn}的前n项和Sn
(3)设manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网(n∈N*),记manfen5.com 满分网,设数列{dn}的前n项和为Tn,求证:对任意正整数n都有Tnmanfen5.com 满分网
(1)把给出的递推式移向后讨论a,当a1=a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列,求出通项公式后验证a=1时成立; (2)把数列{an} 的通项公式代入bn=n(a-an),然后利用错位相减法求数列 {bn}的前n项和Sn; (3)把数列{an} 的通项公式代入化简,然后由放缩得到,最后通过求和证明Tn<. (1)【解析】 ∵an+1=can+1-c,∴an+1-1=c(an-1) ∴当a1=a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列, ∴,即. 当a=1时,an=1仍满足上式. ∴数列{an} 的通项公式为; (2)【解析】 由(1)得,当a=,c=时, bn=n(1-an)=n{1-[1-]}=n  ∴ 两式作差得 =;   (3)证明: dn=c2n-c2n-1= 又,∴, 当n=1时,, 当n≥2时, .
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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