Question

如图，椭圆与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线在左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点F₁、F₂，双曲线的左、右焦点分别是椭圆左、右顶点，△MF₁F₂的周长为（4），设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂=1；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意知，确定双曲线、椭圆离心率，根据△MF1F2的周长，即可求得椭圆的标准方程，根据双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，可求双曲线的标准方程，；
（2）设点P（x，y），根据斜率公式求得k1、k2，利用点P在双曲线上，即可证明结果；
（3）设直线AB、CD的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．
（1）【解析】
由题意知，双曲线的离心率为，椭圆离心率为，∴a=c
∵2a+2c=4（ ），∴a=2，c=2，∴b2=a2-c2=4，
∴椭圆的标准方程为；
∴椭圆的焦点坐标为（±2，0），
∵双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
∴该双曲线的标准方程为．
（2）证明：设点P（x，y），则k1=，k2=，
∴k1•k2==，
又点P（x，y）在双曲线上，∴y2=x2-4，
∴k1•k2==1．
（3）【解析】
假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，则由（2）知k1•k2=1，
∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x-2），
由方程组 消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得，x1+x2=，x1•x2=，
∴|AB|=，
同理可得|CD|=
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==
∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．