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已知函数,f(X)=log2x的反函数为f-1(x),等比数列{an}的公比为2...

已知函数,f(X)=log2x的反函数为f-1(x),等比数列{an}的公比为2,若f-1(a2)•f-1(a4)=210,则2f(a1)+f(a2)+…+f(a2009=( )
A.21004×2008
B.21005×2009
C.21005×2008
D.21004×2009
本题由函数f(X)=log2x可确定反函数f-1(x),从而利用f-1(a2)•f-1(a4)=210得到等比数列第二项与第四项的等式关系,并结合公比为2求出通项an=2n-1,由此求出f(a1)+f(a2)+…+f(a2009)的值,进而可得答案. 【解析】 由f(X)=log2x得f-1(x)=2x,所以f-1(a2)•f-1(a4)===210,所以a2+a4=10, 又公比q=2,所以a1=1, 故an=2n-1, 所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2009)=log21+log221+log222+log223+…+log222008=1+2+3+…+2008==1004×2009; 所以2f(a1)+f(a2)+…+f(a2009)=21004×2009 故选D.
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