Question

三棱锥P-ABC中△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分别为AB、PB的中点．
（1）求证AC⊥PD；
（2）求二面角E-AC-B的正切值．
（3）求三棱锥P-CDE与三棱锥P-ABC的体积之比．

Answer

（1）取AC中点O，连OD证明AC⊥面POD即可由线面垂直证明出AC⊥PD；
（2）求二面角需先作出它的平面角，由图知连OB，过E作EF⊥OB于F，过F作FG⊥AC，连EG，知EG⊥AC，∠EGF为二面角E-AC-B的平面角，求出其正切值；
（3）由图形将三棱锥P-CDE的体积用VD-PCE，表示出来，将问题转化为求VD-PCE与三棱锥P-ABC的体积之比，研究两个几何体的高与底面即可得出它们的比值
【解析】
（1）证：取AC中点O，PO⊥AC，又面PAC⊥面ABC∴PO⊥面ABC，连OD，则OD⊆面PBC，则DO⊥AC，∴AC⊥面POD，AC⊥PD…（3分）
（2）【解析】
连OB，过E作EF⊥OB于F
Q面POB⊥面ABC∴EF⊥面ABC  过F作FG⊥AC
连EG知EG⊥AC∠EGF为二面角E-AC-B的平面角
在VPOB中，EFP=
在VOBC中，FGP=…（8分）
（3）【解析】
VP-CDE=VD-PCE，E为PB中点
∴，
即…（13分）