Question

已知函数f（x）=ax-在x=0处取得极值．
（I）求实数a的值，并判断，f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），求证：0＜a_n+1＜a_n≤l；
（Ⅲ）在（II）的条件．下，记s_n=++…+，求证：s_n＜1．

Answer

（I）通过极值的性质，求实数a．然后利用导数判断函数的单调性．
（Ⅱ）利用数学归纳法证明不等式．
（Ⅲ）利用（II）的结论去证明．
【解析】
（I）函数的导数为，因为函数在x=0处取得极值，所以f'（0）=0，解得a=1．
即．
因为x≥0，所以ln（1+x）≥0，x2+x≥0，所以此时f'（x）≥0，即函数在[0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）  由（I）知，所以，下面用数学归纳法证明an＞0．
①当n=1时，an=1＞0，成立．
②假设当n=k，（n∈N•）时ak＞0．因为函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f（ak）＞f（0）=0，所以an+1=f（an）＞0成立．
综上an＞0．又an-an+1=，因为an＞0，所以，即an＞an+1．
而a1=1，所以0＜an+1＜an≤l成立．
所以由①②可知0＜an+1＜an≤l成立．
（Ⅲ）由（II）知，0＜an+1＜an≤l，所以，，即，所以．
所以．
所以sn=++…+
=
所以sn＜1．