Question

已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量=（2sinB，），，且⊥，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
（2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．

Answer

由两向量的坐标及两向量垂直，得到两向量数量积为0求出B的度数，
（1）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，将B的度数代入，根据正弦函数的单调减区间求出x的范围即可；
（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形后，求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值代入计算即可求出三角形ABC面积的最大值．
【解析】
∵向量=（2sinB，），=（2cos2-1，cos2B），且⊥，
∴•=2sinBcosB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin（2B+）=0，
∴2B+=kπ，即B=π-，k∈Z，
∵0＜B＜，∴B=，
（1）f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-），
由2x-∈[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，得函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（2）由余弦定理得：16=a2+c2-2accos=a2+c2-ac≥ac，
∴S△ABC=acsin≤4，
则△ABC面积的最大值为4．