Question

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为AD中点．
（Ⅰ） 证明MF⊥BD；
（Ⅱ） 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为，求AB的长．

Answer

（Ⅰ）证明MF⊥平面ABCD，即可得到结论；
（II）取AF的中点G，过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，可证得∠DHG为二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．
（Ⅰ）证明：∵ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，
∴△ADF为正三角形
∵M为AD中点，∴MF⊥AD
∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，
∴MF⊥平面ABCD
∴MF⊥BD；
（Ⅱ）设AB=x．取AF的中点G．

由题意得DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，∴∠DHG为二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=
在直角△BAF中，由=sin∠AFB=得，∴
在直角△DGH中，DG=，，∴DH=2
∵cos∠DHG==，∴x=，∴AB=