Question

己知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式1nx＜kx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求实数k的取值范围；
（3）是否存在正实数m、n（m＜n），使mⁿ=n^m？若不存在，请说明理由；若存在，求m的取值范围．

Answer

（1）求出函数函数的导数为y′的解析式，分别令y′＞0，y′＜0，求得单调区间．
（2）利用分离参数法，得k＞一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，转化为求求f（x）=在x∈[a，2a]上的最大值．
（3）mn=nm等价于nlnm=mlnn，即，函数在（0，+∞）上有不同两点函数值相等．利用f（x）的图象解决．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=当0＜x＜e时，f′（x）＞0，所以
f（x）单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．所以f（x）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞），
（2）不等式1nx＜kx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，分离k，得k＞一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
下面求f（x）=在x∈[a，2a]上的最大值．因为a＞0，由（1）知，f（x）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞），
当2a≤e，即0＜a时，f（x）在[a，2a]上单调递增，f（x）max=f（2a）=
当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，f（x）max=f（a）=
当a＜e＜2a时，即＜a＜e时，f（x）在[a，e]上单调递增，在[e，2a]上单调递减，f（x）max=f（e）=
综上，当0＜a时，k＞，当a≥e时，k＞，当＜a＜e时，k＞．
（3）存在．
由mn=nm，两边取自然对数，得nlnm=mlnn，即，函数在（0，+∞）上有不同两点函数值相等．
因为f（x）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞），当x∈（0，1）时，f（x）＜0，f（x）max=f（e）=
当x无限增大时，f（x）无限接近0，且f（x）＞0，f（x）的图象如图所示，
故总存在正实数m，n且1＜m＜e＜n，使得f（m）=f（n），即使mn=nm，此时1＜m＜e．