Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，点D为A₁C₁的中点．
（I）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（II）求证：A₁C⊥平面AB₁D；
（Ⅲ）求异面直线AD与BC₁所成角的大小．

Answer

（I）连接A1B，交AB1于O点，连接OD，由平行四边形性质及三角形中位线定理可得OD∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到BC1∥平面AB1D；
（II）由直棱柱的几何特征可得A1A⊥B1D，由等边三角形三线合一可得B1D⊥A1C1，进而由线面垂直的判定定理得到B1D⊥平面AA1C1C，再由三角形相似得到A1C⊥AD后，可证得A1C⊥平面AB1D．
（III）由（I）中OD∥BC1，可得异面直线AD与BC1所成角即∠ADO，解△ADO可得答案．
证明：（I）在三棱柱ABC-A1B1C1中，连接A1B，交AB1于O点，连接OD
∵在△A1BC1中，A1D=DC1，A1O=OB，
∴OD∥BC1，
又∵OD⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D；
∴BC1∥平面AB1D；
（II）在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1；
∵B1D⊂平面A1B1C1；
∴A1A⊥B1D
在△A1B1C1中，D为A1C1的中点
∴B1D⊥A1C1
又∵A1A∩A1C1=A1，A1A，A1C1⊂平面AA1C1C，
∴B1D⊥平面AA1C1C，
又∵A1C⊂平面AA1C1C，
∴B1D⊥A1C
又∵==
∴∠DA1A=∠A1AC=90°
∴△DA1A∽△A1AC，∠ADA1=∠CA1A
∵∠DA1C+∠CA1A=90°
∴∠DA1C+∠ADA1=90°
∴A1C⊥AD
又∵B1D∩AD=D，B1D，AD⊂平面AB1D；
∴A1C⊥平面AB1D；
【解析】
（III）由（I）得，OD∥BC1，
故AD与BC1所成的角即为∠ADO
 在△ADO中，AD=，OD=BC1=，AO=A1B=，
∵AD2=OD2+AO2，OD=AO
∴△ADO为等腰直角三角形
故∠ADO=45°
即异面直线AD与BC1所成角等于45°