Question

设S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，且数列{b_n}的前n项和T_n，证明：．

Answer

（I）再写一式，两式相减，结合{an}是正项数列，可得数列是等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（II）确定数列的通项，利用基本不等式，结合裂项求和，即可证得结论．
（I）【解析】
∵
∴（n≥2）
两式相减可得+（an-an-1）
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵{an}是正项数列，∴an-an-1=2（n≥2）
∵
∴a1=3
∴an=3+2（n-1）=2n+1；
（II）证明：∵＞0，＞0，且
∴=+＞=2
∴Tn＞2n
∵bn=+=2+2（）
∴Tn=2n+2（）+2（）+…+2（）=2n+2（）＜2n+
∴．