Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax．
（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=3时，求出f（x）的极值：
（III）在（I）的条件下，若在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x），因为函数在定义域上为增函数，所以f′（x）大于等于0恒成立，再利用基本不等式求出左边的最小值即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）先求导数，确定函数的单调区间．减区间与增区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数为正，右侧导数为负时，为极大值，当极值点左侧导数为负，右侧导数为正时，为极小值；
（III）设=，求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x2-ax（x＞0），则f′（x）=+2x-a（x＞0）．
∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即+2x-a≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴+2x≥a．
∵当x＞0时，+2x≥2，当且仅当=2x，即x=时等号成立．
∴a的取值范围是（-∞，2]；
（Ⅱ）当a=3时，
当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，
当＜x＜1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，）和（1，+∞）上是增函数，在（，1）上是减函数，
∴f（x）极大值=f（）=--ln2，f（x）极小值=f（1）=-2
（III）设=
∴g′（x）=
∵a∈（-∞，2]，且x∈（0，1]
∴g′（x）＞0
∴g（x）在（0，1）内为增函数
∴g（x）max=g（1）=2-a
∵在x∈（0，1]内恒成立，
∴2-a≤0，解得a≥2．