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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠B...

manfen5.com 满分网如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;
(3)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角?并说明理由.
(1)欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直,根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC,满足定理所需条件; (2)根据DE⊥平面PAC,垂足为点E,则∠DAE是AD与平面PAC所成的角.在Rt△ADE中,求出AD与平面PAC所成角即可; (3)根据DE⊥AE,DE⊥PE,由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A-DE-P的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,从而存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角. 【解析】 (1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC. 又∠BCA=90°,∴AC⊥BC,∴BC⊥平面PAC. (2)∵D为PB的中点,DE∥BC, ∴DE=BC. 又由(1)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC,垂足为点E, ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角. ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB. 又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形, ∴AD=AB. 在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∴BC=AB, ∴在Rt△ADE中,sin∠DAE===, 即AD与平面PAC所成角的正弦值为. (3)∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC. 又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC, ∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角. ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC, ∴∠PAC=90°,∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC. 这时,∠AEP=90°, 故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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