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如图,椭圆与一等轴双曲线相交,M是其中一个交点,并且双曲线在左、右顶点分别是该椭...

manfen5.com 满分网如图,椭圆manfen5.com 满分网与一等轴双曲线相交,M是其中一个交点,并且双曲线在左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点F1、F2,双曲线的左、右焦点分别是椭圆左、右顶点,△MF1F2的周长为(4manfen5.com 满分网),设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,求证:k1•k2=1;
(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
(1)由题意知,确定双曲线、椭圆离心率,根据△MF1F2的周长,即可求得椭圆的标准方程,根据双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,可求双曲线的标准方程,; (2)设点P(x,y),根据斜率公式求得k1、k2,利用点P在双曲线上,即可证明结果; (3)设直线AB、CD的方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,即可求得|AB|,|CD|,代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|,求得λ的值. (1)【解析】 由题意知,双曲线的离心率为,椭圆离心率为,∴a=c ∵2a+2c=4( ),∴a=2,c=2,∴b2=a2-c2=4, ∴椭圆的标准方程为; ∴椭圆的焦点坐标为(±2,0), ∵双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点, ∴该双曲线的标准方程为. (2)证明:设点P(x,y),则k1=,k2=, ∴k1•k2==, 又点P(x,y)在双曲线上,∴y2=x2-4, ∴k1•k2==1. (3)【解析】 假设存在常数λ,使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立,则由(2)知k1•k2=1, ∴设直线AB的方程为y=k(x+2),则直线CD的方程为y=(x-2), 由方程组 消y得:(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由韦达定理得,x1+x2=,x1•x2=, ∴|AB|=, 同理可得|CD|= ∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|, ∴λ== ∴存在常数λ=,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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