Question

一个多面体的三视图及直观图如图所示，M，N分别是A₁B，B₁C₁的中点；
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小．

Answer

（Ⅰ）利用BC⊥平面ACC1A1，可得BC⊥AC1，在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1，利用线面垂直的判定定理可得AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）直线AC1与A1C相交于点Q，连接BQ，则∠QBC1是直线BC1和平面A1BC所成角，从而可求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
（Ⅰ）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=BC=CC1=a，
连接AC1，AB1，
∵BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AC1
在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1
∵BC∩A1C=C
∴AC1⊥平面A1BC；  
（Ⅱ）设直线AC1与A1C相交于点Q，连接BQ，则∠QBC1是直线BC1和平面A1BC所成角
∵BC⊥QC，BC=a，CQ=
∴=
∵
∴在直角△QBC1中，∠QBC1=30°